Số chính phương là gì? Cách nhận biết và ví dụ chi tiết

Bạn đang tìm hiểu về số chính phương là gì? Làm sao để nhận biết số chính phương? Mời bạn tham khảo bài viết đây để nắm rõ hơn những kiến thức về số chính phương thông qua các khái niệm và ví dụ chi tiết.

Những số chính phương đơn giản nhất (Nguồn Internet)

Số chính phương là gì?

Định nghĩa

Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.

Hay hiểu đơn giản, số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc hai cũng là một số tự nhiên. Số chính phương về bản chất là bình phương của một số tự nhiên nào đó. Số chính phương là diện tích của một hình vuông với cạnh là số nguyên kia.

Với số nguyên bao gồm các số nguyên dương, nguyên âm và số 0.

Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu như nó là bình phương của một số chẵn, ngược lại. Một số chính phương được gọi là số chính phương lẻ nếu như nó là bình phương của một số lẻ.

Tính chất

• Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9, nếu các số tận cùng là 2,3,7,8 thì không phải là số chính phương.
• Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
• Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 4n hoặc 4n + 1, không có số chính phương nào có dang 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n € N).
• Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 3n hoặc 3n + 1, không có số chính phương nào có dang 3n + 2 (với n € N).
• Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
• Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
• Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
• Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
• Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
• Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
• Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
• Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
• Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Ví dụ:

9(3)²;  36 (6)²; là số chính phương.

Công thức để tính hiệu của hai số chính phương:

a² - b² = (a+b)(a-b).

Ví dụ:

6² – 3² = (6+3)(6-3) = 9.3 = 27.

Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ.

Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p².

Ví dụ:

Số chính phương 36 (6²) chia hết cho 2 => 36 chia hết cho 4 (2²)

Số chính phương 144 (12²) chia hết cho 3 (144:3=48) => 144 chia hết cho 9 (144:9=16)

Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1 = 1, 4 = 1 + 3, 9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7, 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9, ...v.v

Ví dụ số chính phương

Các chuyên đề toán ở trung học đã có rất nhiều dạng bài tập về số chính phương. Dựa theo khái niệm và tính chất phía trên, ta có một số ví dụ về số chính phương như sau:

Các số 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 144, 225, 576 đều là số chính phương.

• 4= 2² là một số chính phương chẵn
• 9= 3² là một số chính phương lẻ
• 16= 4² là một số chính phương chẵn
• 25 = 5² là một số chính phương lẻ
• 36= 6² là một số chính phương chẵn
• 225 = 15² là một số chính phương lẻ
• 289 = 17² là một số chính phương lẻ
• 576 = 24² là một số chính phương chẵn
• 1.000.000= 1.000² là một số chính phương chẵn

Số chính phương ứng dụng nhiều trong đời sống (Nguồn Internet)

Một số bài toán mẫu

Bài tập 1: Chứng minh một số không phải là số chính phương

Ví dụ 1: Chứng minh số n = 2004² + 2003² + 2002² - 2001² không phải là số chính phương.

Lời giải: Ta thấy chữ số tận cùng của các số 2004², 2003², 2002², 2001² lần lượt là 6,9,4,1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.

Ví dụ 2: Chứng minh 1234567890 không phải là số chính phương.

Lời giải: Ta thấy số 1234567890 chia hết cho 5 vì chữ số tận cùng là 0 nhưng lại không chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng là 90. Vì vậy, số 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài tập 2: Chứng minh một số là số chính phương

Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì a_n = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số chính phương.

Lời giải:

Ta có:

a_n = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1

= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) +1

= (n² + 3n)²+ 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Với n là số tự nhiên thì (n² + 3n + 1)² cũng là số tự nhiên, vì vậy, a_n

Số chính phương trong chương trình Toán học lớp 6 (Nguồn Internet)

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức có ích về số chính phương giúp cho công việc học tập và nghiên cứu của bạn thêm thuận lợi.