Nhị thức Newton và các dạng bài tập thường gặp

Nhị thức Newton là công thức toán học vô cùng nổi tiếng. Công thức là một sự đóng góp lớn lao của Nhà bác học Newton vào sự phát triển của toán học cao cấp, đặc biệt trong các phép tính với các đại lượng vô cùng nhỏ.

Giới thiệu về định lý Nhị thức Newton

Theo các văn bản được lưu giữ từ 200 năm trước Công nguyên cho thấy, từ rất lâu trước đây các nhà toán học Ấn Độ đã rất quen thuộc với một bảng tam giác số học. Trong tác phẩm được viết năm 1303 của nhà toán học Chu Sinh – Trung Quốc, bảng tam giác số học đó cũng được tìm thấy.

Bảng tam giác số học:

1

1  1

1  2 1

1  3 3  1

1   4 6   4 1

1  5 1  0 1 0  5 1

1  6 1  5 2 0  1 5 6 1

1  7 2  1 3 5  3 5 2 1  7 1

1  8 2  8 5 6  7 0 5 6  2 8 8 1

Thực tế, Newton không phải là người đầu tiên tìm ra công thức này. Trước Newton, có rất nhiều nhà toán học khác đã tìm ra nó như nhà toán học người Anh Bô-rít-gôn (1624), nhà toán học người Pháp Fermat (1636), nhà toán học người Pháp Pascal (1654). Newton chỉ mới tìm ra công thức này năm 1665, khi đó ông 22 tuổi.

Công thức nhị thức Newton:

${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k a^{n-k} b^k (a,b \in R; n\in N^{*})$

Mặc dù công thức được tìm ra không mới, nhưng người ta vẫn lấy tên Newton để đặt tên cho nhị thức này là do ý nghĩa lớn lao của nó. Khác với những nhà toán học trước đó, Newton đã phát triển công thức này, không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức này cho các số mũ nguyên dương mà nó còn được áp dụng cho cả các số mũ bất kỳ: số dương, số âm, số nguyên, phân số. Chính nhờ ý nghĩa lớn lao đó, hiện nay, trên bia mộ của Newton được đặt tại tu viện Westminster người ta in hình Newton cùng nhị thức này.

Tại Việt Nam, công thức Nhị thức Newton được áp dụng đưa vào giảng dạy tại chương trình lớp 11 phần đại số và giải tích.

Công thức nhị thức Newton

Dưới đây là công thức nhị thức Newton đầy đủ:

${(a + b)}^n =\sum _{k=0}^n C_{\mathrm{n<div\; class="adv-components"\; id="MiddleContent-02"></div>}}^k a^{n-k}{b}^k , (a, b \in \mathrm{ℝ}; n \in {\mathrm{N}}^{*})$

Quy ước: $a^0 = b^0 = 1$

Tính chất của Nhị thức Newton ${(a + b)}^n$

Số các số hạng của công thức là: n+1

Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng số mũ của nhị thức:

(n – k) + k = n

Số hạng tổng quát của nhị thức là: Tk+1 = $C_n^k a^{n-k}{b}^k$  (Đó là số hạng thứ K+1 trong triển khai ${(a + b)}^n$

Các hệ số nhị thức có cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.

Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton

Nếu trong trường hợp ta gắn cho a, b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Cụ thể:

$$\begin{gathered} {(1+x)}^n=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}+...+ C_n^n => C_n^0 + C_n^1+...+C_n^n =2^n \\ {(x-1)}^n=C_n^0{x}^n-C_n^1{x}^{n-1}+...+ {(-1)}^n{C}_n^n => C_n^0-C_n^1+...+{(-1)}^n{C}_n^n=0 \end{gathered}$$

Từ triển khai này ta có kết quả sau:

$$\begin{gathered} C_n^0 + C_n^1 +...+C_n^n =2^n \\ {C}_n^0- C_n^1 +...+ {(-1)}^n{C}_n^n=0 \end{gathered}$$

Cách giải bài tập nhị thức Newton

Dưới đây VOH online xin đưa ra một số dạng bài tập về nhị thức Newton cùng lời giải chi tiết để các bạn tham khảo.

Dạng 1: Tìm số hạng chứa $x^a$ trong khai triển ${(a+b)}^n$

Phương pháp.

• Viết khai triển: ${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$;

• Biến đổi khai triển thành: ${(a+b)}^n=\sum _{k=0}^{n}A.x^{f\left(k\right)}$;

• Số hạng chứa $x^{\alpha }$ tương ứng với số hạng chứa k thỏa $f\left(k\right) =\alpha ,$

• Từ đó suy ra số hạng cần tìm.

Ví dụ 1: Tìm hệ số của $x^{15}$ trong khai triển đa thức:

$P\left(x\right) = {(2x - 3x^2)}^{10}$

Lời giải.

Ta có:

Số hạng chứa $x^{15}$ tương ứng với số hạng chứa k thỏa 10 + k = 15 $\iff$ k = 5

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{15}$ là:  $C_{10}^5.2^5.{(-3)}^5=-6^5{C}_{10}^5$

Ví dụ 2: (A-03) Tìm hệ số của số hạng chứa $x^8$ trong khai triển ${\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{x^3}+& \sqrt{x^5}\end{array}\right)}^n$, biết: $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3)$

Lời giải.

Theo giả thiết có: $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3)$

Khi đó, số hạng chứa $x^8$ tương ứng số hạng chứa k thỏa $\frac{11}{2}k - 36 \iff k =8$

Như vậy, hệ số của số hạng có chứa $x^8$ là $C_{12}^8=495$

Dạng 2: Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến $C_n^k$

Phương pháp.

• Chọn một khai triển ${(a+x)}^n$  phù hợp, ở đây a là hằng số.

• Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc áp dụng lấy đạo hàm, tích phân.

• Căn cứ vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thể.

Ví dụ 1: (D-02) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức:

$C_n^0+2.C_n^1+2^2.C_n^2+...+2^n.C_n^n=243$

Lời giải.

Xét khai triển ${(1+x)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k$.

Chọn x = 2  ta có $3^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{2}^k$.

Lại theo giả thiết ta có $3^n=243 \iff n=5$ .

Ví dụ 2. (D-08) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức:

$C_{2n}^1 + C_{2n}^3 +...+ C_{2n}^{2n-1}=2048$

Lời giải.

Xét khai triển ${(1+x)}^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{C}_{2n}^k{x}^k$.

Chọn lần lượt x = 1 và x = -1 ta có.

Trừ theo vế (1) và (2) ta có $2^{2n}=2\left(C_{2n}^1+C_{2n}^3+...+C_{2n}^{2n-1}\right)$ .

Lại theo giả thiết có $2^{2n}=2.2048 \iff 2^{2n} = 2^{12} \iff n=6$.

Các dạng bài tập tương tự

1. Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

$x(1-2x{)}^5 + x^2 (1+3x{)}^{10}$

2.  Cho n là số nguyên dương, gọi $a_{3n-3}$ là hệ số của $x^{3n-3}$trong khai triển thành đa thức của ${(x^2+1)}^n(x+2{)}^n$ . Tìm n để $a_{3n-3 }=26n$.

3. Tính tổng $S=C_{2013}^0+3C_{2013}^1+3^2{C}_{2013}^2+...+3^{2013}{C}_{2013}^{2013}$.

4.  Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển biểu thức:

${(2+x)}^n$, biết ${\mathrm{3<div\; class="adv-components"\; id="MiddleContent-05"></div>}}^n{C}_n^0-3^{n-1}{C}_n^1+3^{n-2}{C}_n^2+...+{(-1)}^n{C}_n^n = 2048$

5. Cho khai triển:

${(1+2x)}^n =a_0 + a_{1}x+...+a_n{x}^n, (n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*})$

và các hệ số $a_0, a_1, a_2,...,a_n$ thoả mãn hệ thức $a_0 + \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{4}+...+\frac{a_n}{2^n}=4096$.

Tìm số lớn nhất trong các số $a_0, a_1, a_2,...,a_n$.

6. Tính tổng $S=C_{2013}^0+C_{2013}^2+C_{2013}^4+...+C_{2013}^{2012}$ .

7. Tính tổng.

8. Tìm số tự nhiên n sao cho $1.C_n^1+2.C_n^2+...+n{C}_n^n = n.2^{2013}$.

9. Tính tổng $S=2C_n^0+5C_n^1+8C_n^2+...+(3n+2) C_n^n$.

10. Tính tổng $S =1^2{C}_{2013}^1{2}^{2012}+2^2 C_{2013}^2{2}^{2011}+...+{2013}^2 C_{2013}^{2013} 2^0$